ТС, вот алгоритм. Сам если пишешь - сможешь разобрать.
1. У тебя есть фронтенд(страница, на которой нужно осуществить проверку и вывести результат) и бэкенд(скрипт, который обработает полученные данные и возвратит результат).
2. Когда страница загружена, вешаем слушатель событий на DOM-объект, по клику на который и будет осуществляться проверка.
3. В коде слушателя создаем переменную, которая имеет значение name. Создаем AJAX-запрос, в котором методом POST отправляет бэкенду наш name.
4. Скрипт получает данные из POST, коннект к БД, проверка, если есть совпадение - TRUE, нет -FALSE. Причем нужно отправить эти результаты в вывод, так как они нам нужны дальше.
5. В массиве отправки AJAX-запрса в jQuery есть параметр success - который принимает в себя как параметр функцию. А функция - ответ сервера при ответе 200.
6. Проверяем на клиентской стороне результат - если FALSE, то ошибка, TRUE - все ок)
Пиши что не понятно)